Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс - Страница 9

К оглавлению

9
= 10

Площадь = (8 * 6) / 2 = 24

Задача 13. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 45. Один катет равен 9. Найдите длины всех сторон. Смотрите рисунок 91.

Рисунок 91

Решение: Сумма всех углов в треугольнике равна 180. Один угол равен 90, а другой — 45. Тогда неизвестный угол равен 180 — 90 — 45 = 45.

Если угол B = C = 45, то AB = AC = 9

Согласно теореме Пифагора BC^2 = AC^2 + AB^2.

BC^2 = 9^2 +9^2 = 81 +81 = 162

BC = квадратный корень из (162) = 12,73

Задача 14: Углы треугольника равны 2х, 2х — 45 и х. Сторона, противоположная углу 2x, равна x. Найдите длины всех сторон треугольника. Смотрите рисунок 92.

Рисунок 92

Решение: сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов. Итак, мы можем написать:

2x + (2x-45) + x = 180

2x +2x — 45 + x = 180

2x +2x — 45 +45 + x = 180 +45

2x +2x + x = 225

5x = 225

х = 225/5 = 45

Если х = 45 тогда угол ABC равен 45, а угол BAC равен

2x = 2 * 45 = 90.

Угол ACB = 90 — 45 = 45.

Если углы ABC и ACB равны, то AB = AC.

Если угол BAC = 90, то BC — это гипотенуза. BC = х = 45.

Из теоремы Пифагора мы можем найти длину AB и AC

BC^2 = AB^2 + AC^2

45 * 45 = AB^2 + AC^2

Так как AB и AC равны, мы можем написать

45 * 45 = 2AB^2

2025 = 2AB^2

2025/2 = (2AB^2) / 2

AB^2 = 1012,5

AB = квадратный корень из (1012,5) = 31,8

AB = 31,8 AC = 31,8

Задача 15. В равнобедренном треугольнике на рис. 93 длина равных сторон равна 10, а длина основания равна 7. Какова площадь треугольника?

Рисунок 93

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Высота равнобедренного треугольника является медианой и делит основание треугольника на два равных сегмента. AD = CD.

Длина высоты неизвестна, но мы можем рассчитать ее, используя теорему Пифагора.

AB^2 = AD^2 + BD^2

Тогда BD^2 = AB^2 — AD^2

Тогда площадь треугольника ABC равна

AD * квадратный корень из (AB^2 — AD^2)

AD = 7/2 = 3,5

BD ^ 2 = 10 ^ 2 — 3,5 ^ 2 = 100 — 12,25 = 87,75

BD = квадратный корень из (87,75) = 8,69

Площадь = 8,69 * 3,5 = 30,41

Задача 16. Найдите площадь равностороннего треугольника на рисунке 94, если его сторона равна 5м.

Рисунок 94

Решение такое же, как и для задачи 15.

Длина высоты неизвестна, но мы можем рассчитать ее, используя теорему Пифагора.

AB^2 = BD^2 + AD^2

Тогда BD^2 = AB^2 — AD^2

Тогда площадь треугольника ABC равна (AC * BD) / 2 или AD * BD

AD * квадратный корень из (AB^2 — AD^2)

Если AC = 5 м, то AD = 2,5 м

Площадь = 2,5 м * квадратный корень из (25 — 2,5 ^ 2) =

2,5 м * квадратный корень из (25 — 6,25) =

2,5 м * 4,3 м = 10,83 м ^ 2

Задача 17.

Дано: D, E и F — средние точки треугольника со сторонами AB, BC и AC. Площадь ABC = 100м^2. Найдите площадь треугольника DEF. См. Рисунок 95.

Рисунок 95

Решение: Продолжите линию DE и начертите линию EG, равную DE. Смотрите рисунок 96.

Рисунок 96.

Тогда треугольник DBE = треугольник EGC, потому что BE = EC, DE = EG и угол BED = углу CEG как вертикальные углы. Поскольку эти треугольники равны, их стороны и углы равны.

BD = CG и угол ECG = углу DBE. Если BD = AD и BD = CG, то AD = CG

Если угол DBE = углу ECG, то AB || CG и AD || CG и AD = CG, а это означает, что AC = DG и AC || DG.

Если AF = FC и DE = EG, то AD || EF и если DE || AF и DE = AF,

то AD = EF

И если EG = DE и DE = AF = FC, то EG = FC и EF || CG

Треугольник ECG = FCE, потому что оба треугольника имеют общую сторону EC и FC = EG

А угол ECF = углу CEG так как AG || AC.

Если треугольники имеют две равные стороны и угол между этими сторонами, то треугольники равны.

Если треугольник DBE = EGC и треугольник FCE = EGC, то треугольник DBE = FCE.

Рассмотрим треугольники DBE и DEF. Они имеют общую сторону DE и стороны FE и DB, которые равны из-за равенства треугольников DBE и FCE. Угол BDE = DEF так как AB || EF.

Если две стороны и угол у треугольников DBE и DEF равны, то такие треугольники равны.

Треугольник ADF = DBE, потому что AD = DB и DE = AF, а угол

DAF = EDB потому что DE || AF

Если треугольник BDE = DEF = CEF = CEG, то треугольник ADF = BDE = DEF = CEF = CEG.

Если все 4 треугольника внутри треугольника ABC равны, то площадь треугольника DEF = ¼ площади треугольника ABC = 100/4 = 25

Задача 18. Найти площадь поверхности и объем сферы с радиусом 4.

Решение: Площадь поверхности сферы = 4PiR ^ 2

Площадь = 4 * 3,14 * 4 * 4 = 200,96

Объем сферы = 4/3 Pi R^3

V = 4/3 * 3.14 * 4 * 4 * 4=267.95

Задача 19. Найти радиус и площадь поверхности сферы, если ее объем составляет 113,04

Решение:

V = 4/3 Pi R ^ 3. Разделите обе части уравнения на 4/3 Pi

V / ((4/3) Pi) = R ^ 3

113,04 / ((4/3) * 3,14) = R ^

9