Геометрия для родителей - Джеймс Уэллс - Страница 7
7
Обратите внимание, что парабола с отрицательным знаком перед X открывается вниз.
Вершина, Фокус и Директриса Параболы
Парабола — это зеркально-симметричный набор точек, равноудаленных от данной точки (фокуса).
Вершина параболы — это минимальная или максимальная точка, в которой парабола пересекает ось симметрии.
Директриса параболы — это прямая, перпендикулярная оси симметрии.
От любой точки параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
Рисунок 71. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.
Приведенная выше парабола построена с использованием функции
Y = 0,125 X^2
Были найдены следующие точки:
Х = 0; Y = 0,
X = 1; Y = 0,125,
X = 2; Y = 0,5,
Х = 3; Y = 1,125
Х = -1; Y = 0,125
X = -2; Y = 0,5
Х = -3; Y = 1,125
Как найти вершину, фокус и директрису параболы?
Уравнение вертикальной параболы с вершиной (h, k) имеет вид:
4p (y — k) = (x — h) ^2
Число p называется фокусным параметром; оно равно расстоянию от фокуса до директрисы.
Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, ее вершина находится между фокусом и директрисой на одинаковом расстоянии от обеих.
Найти вершину, фокус и директрису для уравнения параболы
8Y = 4X ^ 2 -24X +44
Решение:
Упростим уравнение, разделив обе его стороны на 4
8Y / 4 = (4X^2 -24X +44) /4
2Y = X^2 — 6X +11
Рисунок 72. Парабола. Вершина, Фокус и Директриса.
Теперь нам нужно получить уравнение в виде 4p (Y -k) = (X -h) ^2
Вы можете видеть, что X^2 — 6X +9 = (X — 3) ^2
Тогда мы можем изменить наше уравнение:
2Y = X^2 — 6X +9 +2 (потому что 9 +2 = 11)
Или 2Y = (X — 3) ^2 +2
Вычтите 2 с обеих сторон уравнения.
2Y -2 = (X -3) ^2 +2 -2
Наше уравнение 2 (Y -1) = (X -3) ^2 теперь имеет вид
4p (Y -k) = (X -h) ^2
Из нашего уравнения 4p = 2, тогда p = 0.5
Вершина = (h, k) = (3, 1) или X = 3, Y = 1
Фокус = (h, к + р) = (3, 1 +0,5) = (3, 1,5)
Директриса представляет собой прямую, параллельную оси X с уравнением Y = k-p = 1 — 0,5 = 0,5
Мы можем проверить, правильно ли мы вычислили координаты вершины, если мы заменим X на 3 в исходном уравнении или в уравнении
2Y = X ^ 2 -6X +11
2Y = 3^2 -6 * 3 +11
2Y = 9 -18 +11 = 11—9 = 2
Y = 1
Так как мы получаем Y = 1, координаты вершины правильные
X = 3, Y = 1.
Кубическая функция
Y = X^3
Построим график кубической функции Y = X^3.
X = 0 Y = 0 ^ 3 = 0
X = 1 Y = 1 ^ 3 = 1
X = 2 Y = 2 ^ 3 = 8
X = -1 Y = (-1) ^3 = -1
X = -2 Y = (-2) ^3 = -8
График функции Y = X^3 показан на рисунке 73. Обратите внимание, что график функции Y = X^3 +3 смещен вверх, а график функции Y = X^3 — 3 смещен вниз.
Для функции Y = X^3 +3, если X = 0, Y = +3.
Для функции Y = X^3 — 3, если X = 0, Y = — 3.
Рисунок 73. Кубическая функция X.
Функция квадратного корня из X выглядит как горизонтальная парабола.
Рисунок 74. Функция квадратного корня.
Задачи
Задача 1. Если два треугольника подобны, то соответствующие углы должны быть _________.
а) равными
б) пропорциональными
в) равны 180 градусам.
Задача 2. Соотношение углов в треугольнике составляет 6: 9: 15. Найти измерение каждого угла в градусах.
а) 24, 36, 60
б) 36, 54, 90
в) 46, 54, 80
г) 35, 65, 90
Задача 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равны 30, 40 и 50.
Задача 4. Найдите площадь параллелограмма ABCD на рисунке 75:
Рисунок 75. ABCD — это параллелограмм. AD = 19 см, CE = 11 см
Задача 5. В параллелограмме на рисунке 1 найдите длину стороны AB, если ED = 5.5.cm
Задача 6. В задаче 4 вы нашли, что площадь ABCD равна 209. Найдите длину BF, если угол BFC = 90 градусов. Смотрите рисунок 76.
Рисунок 76. AD = 19, CE = 11
Задача 7. На рисунке 76 найдите площадь многоугольника ABFD.
Задача 8. На рисунке 2 найдите площадь треугольника BCF.
Задача 9. Найдите площадь трапеции на рисунке 77.
Рисунок 77. Трапеция ABCD
Задача 10. Найти площадь круга, если его радиус = 7. См. Рисунок 78.
Рисунок 78. Круг
Задача 11. Площадь круга равна 255. Найти радиус. (Приблизительно)
Задача 12. Прямоугольный треугольник имеет стороны 8, 3X и 5x.
5х — гипотенуза треугольника.
Найдите стороны и площадь треугольника. Смотрите рисунок 79.
Figure 79.
Задача 13. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 45. Один катет равен 9. Найдите длины всех сторон. Рисунок 80.
Рисунок 80
Задача 14. Углы треугольника равны 2x, 2 x — 45 и x. Сторона, противоположная углу 2x, равна x. Найдите длину всех сторон треугольника. Смотрите рисунок 81.
Рисунок 81
Задача 15. В равнобедренном треугольнике длина равных сторон равна 10, а длина основания равна 7. Какова площадь треугольника? Рисунок 82
Рисунок 82
Задача 16. Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 5м. Смотрите рисунок 83.
Рисунок 83.
- Предыдущая
- 7 / 10
- Следующая