Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон - Страница 112

112

поместить в эту область, или, с точностью до небольшой константы, число битов, которые вы можете заложить туда на хранение, не превосходит одной четверти площади поверхности этой области, измеренной в планковских единицах. Это самое удивительное: число битов, которые можно заложить на хранение, растет пропорционально не объему области, а площади ее поверхности. Я могу показать вам, как это выводится (или, скорее, то, что физики принимают за вывод).

Студент: А этот вывод объясняет, почему нужно делить на 4, а не, скажем, на 3?

Скотт: Специалисты по теории струн считают, что у них есть объяснение этому. Это большой успех, который позволяет им взять верх над остальными квантовомеханическими подходами! У сторонников петлевой квантовой гравитации константы не сходятся, и им приходится подстраивать их вручную при помощи так называемого параметра Иммирци. (Примечание: после 2006 г. из лагеря петлевой квантовой гравитации появились утверждения о том, что эту проблему им удалось решить.)

Грубая интуиция говорит, что если вы пытаетесь построить куб из битов (скажем, жесткий диск) и делаете его все больше и больше, то рано или поздно он коллапсирует в черную дыру. После этого вы можете и дальше вкладывать туда все новые биты, но тогда эта информация просто прилипает к горизонту событий; как — этого никто до конца не понимает. И как бы то ни было, с этого момента содержание информации начинает расти пропорционально площади поверхности.

Чтобы это «вывести», первое, что нам потребуется, — это так называемый предел Бекенштейна. Именно Бекенштейн еще в 1970-е гг. осознал, что черные дыры должны обладать энтропией. Почему? Если энтропии нет и вы роняете что-то в черную дыру, это что-то исчезает, что на первый взгляд нарушает второе начало термодинамики. Более того, черные дыры демонстрируют всевозможные однонаправленные свойства: в черную дыру можно уронить что-то, но невозможно извлечь это что-то обратно; можно смешать две черные дыры и получить третью, большего размера, но невозможно расщепить одну черную дыру на несколько более мелких. Косвенным образом это чрезвычайно сильно напоминает энтропию. Задним числом это очевидно даже мне.

Итак, что такое предел Бекенштейна? Это утверждение о том, что в планковских единицах энтропия S любой заданной области удовлетворяет условию

где k — постоянная Больцмана, E — энергия данной области, а R — ее радиус (опять же в планковских единицах). Почему это так? В сущности, эта формула объединяет π, постоянную Больцмана, постоянную Планка и скорость света, так что она просто обязана быть верна. (Я учусь думать как физик. Шучу!) Если серьезно, то она отталкивается от мысленного эксперимента, в котором мы роняем каплю какого-то вещества в черную дыру и выясняем, насколько должна увеличиться температура этой черной дыры (при этом мы используем физику, в которую здесь вдаваться не будем), а затем используем соотношение между температурой и энтропией, чтобы определить, насколько должна возрасти энтропия черной дыры. После этого мы применяем второе начало термодинамики и говорим, что капля, которую мы туда роняем, должна была иметь энтропию не более той, что получила при этом черная дыра. В противном случае полная энтропия Вселенной снизилась бы, что противоречит Второму началу.

Студент: А разве площадь не пропорциональна квадрату радиуса?

Скотт: Пропорциональна.

Студент: Тогда почему в формуле предела Бекенштейна фигурирует R, а не R²?

Скотт: Мы к этому подходим!

Это факт номер один. Факт номер два — это оценка Шварцшильда, которая гласит, что энергия системы может быть не более чем пропорциональна ее радиусу. В планковских единицах E ≤ R/2. Это опять же потому, что если бы вам пришлось паковать вещество/энергию более плотно, то рано или поздно они коллапсировали бы в черную дыру. Если мы хотим построить жесткий диск, в котором на представление каждого бита тратится фиксированное количество энергии, то мы можем изготовить одномерную ленту Тьюринга, которая будет продолжаться до бесконечности, но если попытаться сделать ее хотя бы двумерной, то, став достаточно большой, она коллапсирует в черную дыру. По этому соотношению, радиус черной дыры пропорционален ее массе (и энергии). Можно сказать, что черная дыра дает максимальный эффект: позволяет впихнуть в заданный радиус максимальное количество энергии. Так что черные дыры максимальны по крайней мере в двух отношениях: они имеют больше всего энергии на единицу радиуса и также больше всего энтропии на единицу радиуса.

Итак, если принять эти два факта, можно объединить их в одно утверждение:

S ≤ 2π ER ≤ π R ² = A /4.

То есть энтропия любой области не превышает площади ее поверхности в планковских единицах, деленной на 4. Что до объяснения, почему мы делим здесь A на 4, то мы, в сущности, сводим задачу к объяснению, почему E ≤ R/2. π уходит, поскольку площадь поверхности сферы составляет 4πR².

На самом деле с голографическим пределом, как я уже говорил, есть одна проблема: в некоторых случаях он откровенно не работает. Один из них — это замкнутое пространство-время. Допустим, пространство замкнуто — если идти достаточно далеко в одном направлении, то окажешься совсем с другой стороны, — и эта область как максимум пропорциональна площади поверхности. Но откуда мне знать, что это внутренняя часть? Есть шутка про фермера, который пригласил математика, чтобы тот построил ему ограду максимально эффективным образом — то есть чтобы при заданном периметре, то есть длине ограды, внутри нее оказалась наибольшая возможная площадь. Математик построил крохотную круглую ограду, встал внутрь и объявил,

112